Bab 1: Integral – Konsep dan Kaedah
1. Definisi Integral dan Notasi
Integral merupakan salah satu konsep utama dalam kalkulus yang digunakan untuk menentukan jumlah keseluruhan sesuatu, seperti luas di bawah graf ataupun isipadu pepejal. Notasi asas untuk integral ialah simbol ∫, yang digunakan untuk menandakan proses pengintegralan sesuatu fungsi. Contohnya, ∫f(x)dx merujuk kepada integral fungsi f(x) berkenaan pemboleh ubah x.
2. Integral Tak Tentu dan Pasti
Terdapat dua jenis integral utama iaitu integral tak tentu dan integral pasti. Integral tak tentu digunakan apabila kawasan atau julat nilai tidak ditentukan secara khusus. Ia biasanya menghasilkan satu fungsi umum serta satu pemalar sebarang (C). Sebagai contoh, ∫2x dx = x² + C. Sementara itu, integral pasti pula melibatkan had bawah dan had atas, contohnya ∫[a,b] f(x) dx, yang memberikan nilai numerik tertentu.
3. Kaedah Pengiraan Integral Asas
Pengiraan integral asas melibatkan beberapa teknik seperti peraturan kuasa, pembezaan songsang, dan penggantian mudah. Teknik asas ini penting untuk membolehkan pelajar memahami proses pengiraan integral secara sistematik dan teratur.
1.3 Kaedah Pengiraan Integral Asas (Point Form)
1.3.1Kaedah Kuasa (Power Rule)
Digunakan untuk fungsi berbentuk xⁿ.
Formula: ∫xⁿ dx = (1/(n+1)) xⁿ⁺¹ + C, dengan n ≠ -1.
Contoh: ∫x² dx = (1/3)x³ + C
1.3.2Pemalar dalam Integral
Pemalar boleh dikeluarkan daripada operasi integral.
Formula: ∫k·f(x) dx = k ∫f(x) dx, di mana k adalah pemalar.
Contoh: ∫5x dx = 5∫x dx = 5(x²/2) + C
1.3.3Penambahan dan Penolakan Fungsi
Integral bagi jumlah atau beza dua fungsi adalah sama dengan jumlah atau beza integral setiap fungsi.
Formula: ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx
Contoh: ∫(x + 2) dx = ∫x dx + ∫2 dx = (1/2)x² + 2x + C
1.3.4Kaedah Pembezaan Songsang
Integral merupakan operasi songsang kepada pembezaan.
Jika dy/dx = f(x), maka ∫f(x) dx = y + C
Digunakan untuk mencari fungsi asal.
1.3.5Penggantian Mudah (Simple Substitution)
Digunakan apabila fungsi yang diberikan memerlukan perubahan pemboleh ubah untuk memudahkan penyelesaian.
Contoh: ∫2x(x² + 1) dx, gunakan penggantian u = x² + 1
4. Peraturan Asas Penggabungan Integral
Terdapat beberapa peraturan penting dalam pengiraan integral, seperti peraturan penambahan dan penolakan serta pemalar. Sebagai contoh, ∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx. Memahami peraturan ini dapat membantu dalam penyelesaian soalan yang lebih kompleks.
5. Sifat-sifat Integral
Integral mempunyai pelbagai sifat yang berguna untuk memudahkan pengiraan, antaranya sifat linear dan sifat pembahagian kawasan. Sifat-sifat ini membolehkan pelajar menyelesaikan masalah dengan lebih cekap dan sistematik.
Contoh:
Jika diberikan fungsi f(x) = 2x dan perlu dikira integral dari x = 0 hingga x = 3, maka:
∫[0,3] 2x dx = [x²]₀³ = (3²) - (0²) = 9 - 0 = 9.
Penerangan ini menunjukkan bagaimana integral digunakan dalam pengiraan matematik secara formal dan jelas.
